対応している微分方程式
上のプルダウンから型を選び、係数や式を入力すると、途中式つきで解が表示されます。 対応しているのは次の10種類です。
| 型 | 形 | 解き方の考え方 |
|---|---|---|
| 変数分離形 | dy/dx = f(x)g(y) | xとyを両辺に分けて、それぞれ積分します |
| 一階線形 | y' + P(x)y = Q(x) | 積分因子を掛けて、左辺を積の微分の形にまとめます |
| ベルヌーイ型 | y' + P(x)y = Q(x)yⁿ | u = y¹⁻ⁿ と置くと一階線形に帰着します |
| 同次形 | dy/dx = f(y/x) | u = y/x と置くと変数分離形になります |
| 完全微分形 | M dx + N dy = 0 | ∂M/∂y = ∂N/∂x を確認し、ポテンシャル関数を求めます |
| クレロー型 | y = xy' + f(y') | 一般解のほかに特異解を持つのが特徴です |
| 二階定係数線形（斉次） | ay'' + by' + cy = 0 | 特性方程式の解によって形が3通りに分かれます |
| 二階定係数線形（非斉次） | ay'' + by' + cy = f(x) | 斉次解と特殊解を足し合わせます |
| オイラー型 | ax²y'' + bxy' + cy = 0 | x = eᵗ と置くと定係数の形になります |
| 定数変化法 | — | 斉次解の定数を関数に置き換えて特殊解を求めます |
特性方程式による場合分け
二階定係数線形（斉次）ay'' + by' + cy = 0 は、
特性方程式 aλ² + bλ + c = 0 の判別式によって解の形が変わります。
つまずきやすいところなので、整理しておきます。
| 判別式 | 特性根 | 一般解 |
|---|---|---|
| D > 0 | 異なる2実数解 λ₁, λ₂ | y = C₁e^(λ₁x) + C₂e^(λ₂x) |
| D = 0 | 重解 λ | y = (C₁ + C₂x)e^(λx) |
| D < 0 | 共役複素数解 α ± βi | y = e^(αx)(C₁cos βx + C₂sin βx) |
使うときの注意
- 積分定数を忘れずに。不定積分を行う型では、答えに任意定数（C）が付きます
- 型の見極めが先。同じ方程式が複数の型に当てはまることもあります。解きやすい型を選んでください
- 答え合わせに使う。表示される途中式は考え方の確認用です。提出物では、自分で立てた式を書くようにしてください
- 検算のしかた。得られた解を元の方程式に代入し、成り立つかを確かめると確実です
よくある質問
Q. 初期条件を入れて特殊解を求められますか？
A. このツールは一般解を表示します。初期条件は、得られた一般解に代入して定数を決めてください。
Q. どの型か分かりません。
A. まず「変数分離形にできるか」を確認するのが定石です。
できない場合は、yについて1次かどうか（一階線形）、y/xの形で書けるか（同次形）と順に見ていきます。